環論一般

  • $K$を体とする.$K[X]$はEuclid環.
  • $R$をUFDとすると,$R[X]$もUFD.
  • (中山の補題)$M$を有限生成$A$加群とし,$I$を$A$のすべての極大イデアルに含まれるイデアルとする.このとき,$M=IM$ならば,$M=0$である.

ネーター

  • $A$がネーター環であることとは,イデアルの昇鎖が止まること,あるいは任意のイデアルが有限生成であることとも同値.
  • ネーター環上の有限生成加群の部分加群も有限生成.

整の理論

  • $A\subset B$を環とする.$x\in B$が$A$上整であることと$A[x]$が$A$加群として有限生成であることは同値.
  • $A\subset B\subset C$を環とする.$C$が$B$上整,$B$が$A$上整ならば$C$は$A$上整.
  • $A$が正規環であるとは,商体$K$における整閉包が$A$自身になる.
  • 正規環$A$においては,monicな多項式$f(x)$が$K[x]$の中で可約ならば,$A[x]$の中で可約である.さらに,モニックが$K$に根を持てばそれは$A$の元であり,定数項を割り切る.
  • UFDならば正規環

Dedekind環

  • ネーター正規で,零でない素イデアルがすべて極大である,体でない環をDedekind環という.
  • Dedekindかつ局所である環を離散付値環(DVR)という.
  • 離散付置環はPID

ガロア理論

  • 有限次分離拡大ならば,$|{\rm Hom}_K(L,\overline{K})|=[L:K
    ]$が成り立つ.また,中間体$M$に対して,$\varphi\in{\rm Hom}_K(M,\overline{K})$の${\rm Hom}_K(L,\overline{K})$への延長$[L:M]$個ある.
  • 有限次拡大について,正規拡大であることと,$\varphi\in{\rm Hom}_K(L,\overline{K})$なら$\varphi(L)\subset L$であることは同値.
  • 有限次拡大ならば,${\rm Hom}_K(L,L)={\rm Aut}_K(L)$.特に正規拡大ならば,${\rm Hom}_K(L,\overline{K})={\rm Aut}_K(L)$.
  • 以上の性質から,${\rm Gal}(L/K)={\rm Aut}_K(L)={\rm Hom}_K(L,\overline{K})$,$|{\rm Gal}(L/K)|=[L:K]$が成立する.

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