位相空間を習った人に丁度いい演習です.

問題

$X$を位相空間,$A$をその部分集合とする.
(1) $A$の境界の境界$\partial\partial A$は必ずしも空にならない.例えば$A$が一点であるような状況を考えればすぐ分かるが,もう少し非自明な例を考えてみよう.$A$,$\partial A$,$\partial\partial A$が相異なるような例を挙げよ.
(2) $\partial\partial A\subset \partial A$か?
(3) $\partial\partial\partial A=\partial\partial A$を示せ.




解答例
 
(1) $X=\mathbb{R}$,$A=\mathbb{Q}\cap [0,1]$などがそう.$\partial A=[0,1]$,$\partial\partial A=\{0,1\}$である.

(2) 真.$\partial A=\overline{A}\setminus A^{\circ}=\overline{A}\cap (A^{\circ})^c$より,$\partial A$は閉集合である.閉集合は自身の境界を含むから主張が従う.

(3) (2)の証明中の等式を繰り返し用いることで
\begin{eqnarray}
\partial\partial\partial A &= &\overline{\partial\partial A}\cap (\partial\partial A^{\circ})^c \\ &= &\partial\partial A \cap (\overline{\partial A}\cap (\partial A^{\circ})^c)^{\circ c}\\&= &\partial\partial A \cap (\overline{\partial A}^{\circ}\cap (\partial A^{\circ})^{c\circ})^c\\&= &\partial\partial A \cap (\partial A^{\circ}\cap(X\setminus \overline{\partial A}))^c\\&= &\partial\partial A \cap \emptyset^c\\&= &\partial\partial A\end{eqnarray}




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