高校生でも理解出来る最初の二つのやり方については,YouTube動画で解説をしています(こちら)!是非ご覧ください!

方法1 教科書に載っている方法

背理法を用いる.$\sqrt{2}$が有理数であるとする.\[\sqrt{2}=\frac{q}{p}\]とおける.ただし$p,q$は正の整数で,互いに素である.この式より
\[\sqrt{2}p=q\]\[2p^2=q^2\]左辺は2の倍数であるから,右辺も2の倍数である.「$m^2$が2の倍数$\Longrightarrow$ $m$は2の倍数」より$q$は2の倍数となり,整数$r$を用いて$q=2r$とおける.代入して\[2p^2=4r^2\]\[p^2=2r^2\]先ほど同様に$p$は2の倍数となる.$p,q$がともに2の倍数となってしまって,互いに素であることに矛盾する.◆

方法2 高校生でも理解出来る簡単な方法

背理法を用いる.$\sqrt{2}$が有理数であるとする.\[\sqrt{2}=\frac{q}{p}\]とおける.ただし$p,q$は正の整数で,互いに素である.この式より
\[\sqrt{2}p=q\]\[2p^2=q^2\]平方数に含まれる素因数2の個数は必ず偶数個であるから,右辺の素因数2の個数は偶数個,左辺の素因数2の個数は偶数+1個すなわち奇数個である.これは素因数分解の一意性に矛盾している.◆

方法3 数学科出身向けの直接証明(体論)

$\sqrt{2}$は$\mathbb{Q}$上多項式$x^2-2$の根である.この多項式はEisensteinの判定法によって既約,すなわち$\sqrt{2}$の最小多項式は$x^2-2$である.$p\in\mathbb{Q}$であることと$p$の最小多項式の次数が1であることが同値であることに注意すれば,$\sqrt{2}\not\in\mathbb{Q}$を得る.◆




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