これから毎週勉強したことを記録していくことにする．
- idempotentとは，有界線形作用素$E$であって，$E^2=E$を満たすもの．
- projectionとは，idempotent$P$であって，${\rm Ker}\; P=({\rm Ran}\; P)^{\perp}$を満たすもの．
- Prop3.3においてprojectionであることと同値な主張をいくつか確認した．
- 2つのfunctor$F,G:\mathcal{A}\longrightarrow \mathcal{B}$が与えられているときに，\[F(A)\cong G(A)\;{\rm naturally\;in}\;A\]であるとは，$F$と$G$がnaturally isomorphicであること．すなわち，$\mathcal{A}$から$\mathcal{B}$へのfunctor全体がなす圏のobjectとしてisomorphismであることなので，同型$F(A)\longrightarrow F(B)$が，the naturality axiom（natural transformationの定義における可換図式）を満たす形で存在するということである．
- Prop.1.3.18の証明で行き詰まる（未解決）：functorがequivalenceであることとfullかつfaithfulかつessentially surjectiveであることは同値．
- 前層の層化について確認したが，証明で理解できていない箇所あり．
- 層が等しいということと同型であること（$\mathcal{F}=\mathcal{G}$と$\mathcal{F}\cong \mathcal{G}$）について，この本は明確に分けていないような気がする．そもそも層が等しいというのは何なのだろうか．層の概念において大事なのは，各$\mathcal{F}(U)$の群「構造」と各$\rho_{UV}$の写像の「構造」なので，同型性が大事であって，集合として完全に等しいということではない．したがって，$\mathcal{F}=\mathcal{G}$を「すべての$U$について，$\mathcal{F}(U)=\mathcal{G}(U)$」として定義し，層が等しいことを概念として取り入れるのはナンセンスな気がする．
- Hartshorneにもこの本にもmorphism of ringed topological spaces$(f,f^{\sharp}):(X,\mathcal{O}_X)\longrightarrow (Y,\mathcal{O}_Y)$の合成の定義が明確になされていない．問題なのは，$f^{\sharp}$の方である．$(g\circ f)^{\sharp}$を，$g_{\ast}f^{\sharp}\circ g^{\sharp}$として定義すると良いと考えた．その上でProp2.24の$f=j\circ g$を示すのに難儀している．
- $g_{\ast}(f_{\ast}\mathcal{F})=(g\circ f)_{\ast}\mathcal{F}$や，$f$がopen immersionであるときに$f^{-1}f_{\ast}\mathcal{F}\longrightarrow \mathcal{F}$が同型であることなどを証明なしに用いている．
- 層のmorphismにおいても群の準同型定理のような主張が成り立つ．
- algebraic set$V$がdefined over $K$であるとは，$I(V)\subset \overline{K}[X]$が$K[X]$の多項式で生成されていることをいう．すなわち，\[I(V)=I(V/K)\overline{K}[X]\]と同値．
- Ex.1.3.1-1.3.3などで与えられているalgebraic setがdefined over $K$であることを示したいのだが，そのためには，（一つ上の項目の等式を用いて）イデアル$I\subset K[X]$に対して，$\sqrt{I\overline{K}[X]}=\sqrt{I}\overline{K}[X]$が成り立つことを示せば良い．ここでは，$K$が完全体であることが必要らしい（Silvermanの本でも完全体であると仮定されている）．$\supset$側の包含と，$\sqrt{I\overline{K}[X]}$が$\sqrt{I}\overline{K}[X]$を含む最小のradicalであることが簡単に証明できるので，$\sqrt{I}\overline{K}[X]$がradicalであること，すなわち「$K$が完全体のとき，radicalの拡大もradical」であることを証明できれば等号が従う．これについては，環論の定理ということで認めることとする．