忘備録

環論一般

• $K$を体とする．$K[X]$はEuclid環．
• $R$をUFDとすると，$R[X]$もUFD．
• （中山の補題）$M$を有限生成$A$加群とし，$I$を$A$のすべての極大イデアルに含まれるイデアルとする．このとき，$M=IM$ならば，$M=0$である．

ネーター

• $A$がネーター環であることとは，イデアルの昇鎖が止まること，あるいは任意のイデアルが有限生成であることとも同値．
• ネーター環上の有限生成加群の部分加群も有限生成．

• $A\subset B$を環とする．$x\in B$が$A$上整であることと$A[x]$が$A$加群として有限生成であることは同値．
• $A\subset B\subset C$を環とする．$C$が$B$上整，$B$が$A$上整ならば$C$は$A$上整．
• $A$が正規環であるとは，商体$K$における整閉包が$A$自身になる．
• 正規環$A$においては，monicな多項式$f(x)$が$K[x]$の中で可約ならば，$A[x]$の中で可約である．さらに，モニックが$K$に根を持てばそれは$A$の元であり，定数項を割り切る．
• UFDならば正規環

• ネーター正規で，零でない素イデアルがすべて極大である，体でない環をDedekind環という．
• Dedekindかつ局所である環を離散付値環（DVR）という．
• 離散付置環はPID

• 有限次分離拡大ならば，$|{\rm Hom}_K(L,\overline{K})|=[L:K
  ]$が成り立つ．また，中間体$M$に対して，$\varphi\in{\rm Hom}_K(M,\overline{K})$の${\rm Hom}_K(L,\overline{K})$への延長$[L:M]$個ある．
• 有限次拡大について，正規拡大であることと，$\varphi\in{\rm Hom}_K(L,\overline{K})$なら$\varphi(L)\subset L$であることは同値．
• 有限次拡大ならば，${\rm Hom}_K(L,L)={\rm Aut}_K(L)$．特に正規拡大ならば，${\rm Hom}_K(L,\overline{K})={\rm Aut}_K(L)$．
• 以上の性質から，${\rm Gal}(L/K)={\rm Aut}_K(L)={\rm Hom}_K(L,\overline{K})$，$|{\rm Gal}(L/K)|=[L:K]$が成立する．