3.n次方程式

\(x\)の方程式\(\displaystyle\frac{4x+3}{5}+\displaystyle\frac{2x+1}{3}=4\)を解け.
\(a,b,c\)を実数定数とする.\(x\)の方程式\(ax^2+bx+c=0\)の複素数解を求めよ.

解説

次のように同値変形を進めていきます:

\[\begin{eqnarray} \displaystyle\frac{4x+3}{5}+\displaystyle\frac{2x+1}{3}=4 &\Longleftrightarrow & 3(4x+3)+5(2x+1)=60 \\
&\Longleftrightarrow & 22x+14=60 \\
&\Longleftrightarrow & 22x=46 \\
&\Longleftrightarrow & x=\displaystyle\frac{23}{11}
\end{eqnarray}\]

1つ目の同値:両辺を15倍,1/15倍
2つ目の同値:左辺の式整理
3つ目の同値:両辺を-14,+14
4つ目の同値:両辺を22で割る,22倍

慣れてくれば,適宜途中式を飛ばして同値変形を進めても構いませんが,気づかないうちに同値にならないような式変形をしていた,というのが怖いので,慣れるまでは丁寧に同値を逐一確認しましょう.

動画で出題した問題の,2次方程式Verです.さらに,場合分けがされます:
A. $a\neq 0$のとき
この時は,2次方程式となるので,解の公式を用いて
\[ax^2+bx+c=0\Longleftrightarrow x=\displaystyle \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\;\;{\rm or}\;\; x=\displaystyle \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
動画では,2次方程式以上は因数分解する方法で解説しました.2次方程式の場合は解の公式を知っていますので,上記のように直接同値変形することもできます.$\pm$もorの省略形なので,この動画シリーズで使うのはなるべくやめましょう.

以下,$a=0$の場合です.1次方程式以下になりますから,動画で解説した場合と同じになります.
B. $a=0$かつ$b\neq 0$のとき
\[ax^2+bx+c=0\Longleftrightarrow bx+c=0\Longleftrightarrow x=-\displaystyle \frac{c}{b}\]

C. $a=0$かつ$b=0$かつ$c=0$のとき
\[ax^2+bx+c=0\Longleftrightarrow c=0\Longleftrightarrow \mathbb{T}\]より解は全複素数.

D. $a=0$かつ$b=0$かつ$c\neq 0$のとき
\[ax^2+bx+c=0\Longleftrightarrow c=0\Longleftrightarrow \mathbb{F}\]より解なし.

One Thought on “「同値を制するもの受験数学を制す」第3回 演習問題とその解説”

  • youtubeからたどって拝見しております。「同値を制するもの受験数学を制す」第3回 演習問題とその解説 で書かれている2次方程式の解の公式の分母が「2a」ではなく「2」となっておりましたので、修正いただければ幸いです。

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