「同値を制するもの受験数学を制す」第3回　演習問題とその解説

3.n次方程式

解説

１ 次のように同値変形を進めていきます：

\[\begin{eqnarray} \displaystyle\frac{4x+3}{5}+\displaystyle\frac{2x+1}{3}=4 &\Longleftrightarrow & 3(4x+3)+5(2x+1)=60 \\
&\Longleftrightarrow & 22x+14=60 \\
&\Longleftrightarrow & 22x=46 \\
&\Longleftrightarrow & x=\displaystyle\frac{23}{11}
\end{eqnarray}\]

1つ目の同値：両辺を15倍，1/15倍
2つ目の同値：左辺の式整理
3つ目の同値：両辺を-14,+14
4つ目の同値：両辺を22で割る，22倍

慣れてくれば，適宜途中式を飛ばして同値変形を進めても構いませんが，気づかないうちに同値にならないような式変形をしていた，というのが怖いので，慣れるまでは丁寧に同値を逐一確認しましょう．

２ 動画で出題した問題の，2次方程式Verです．さらに，場合分けがされます：
A. $a\neq 0$のとき
この時は，2次方程式となるので，解の公式を用いて
\[ax^2+bx+c=0\Longleftrightarrow x=\displaystyle \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\;\;{\rm or}\;\; x=\displaystyle \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\] 動画では，2次方程式以上は因数分解する方法で解説しました．2次方程式の場合は解の公式を知っていますので，上記のように直接同値変形することもできます．$\pm$もorの省略形なので，この動画シリーズで使うのはなるべくやめましょう．

以下，$a=0$の場合です．1次方程式以下になりますから，動画で解説した場合と同じになります．
B. $a=0$かつ$b\neq 0$のとき
\[ax^2+bx+c=0\Longleftrightarrow bx+c=0\Longleftrightarrow x=-\displaystyle \frac{c}{b}\]

C. $a=0$かつ$b=0$かつ$c=0$のとき
\[ax^2+bx+c=0\Longleftrightarrow c=0\Longleftrightarrow \mathbb{T}\]より解は全複素数．

D. $a=0$かつ$b=0$かつ$c\neq 0$のとき
\[ax^2+bx+c=0\Longleftrightarrow c=0\Longleftrightarrow \mathbb{F}\]より解なし．