4.連立方程式

次の連立方程式を解け.

$4x+y=7\;\;{\rm and}\;\; 2x+3y=2$

$x^2+xy+1= 0\;\;{\rm and} \;\; x^2-x-y=0$

解説

次のように同値変形を進めていきます:

\[\begin{eqnarray} &&4x+y=7\;\;{\rm and}\;\; 2x+3y=2\\
&\Longleftrightarrow & y=7-4x \;\;{\rm and}\;\; 2x+3y=2\\
&\Longleftrightarrow & y=7-4x \;\;{\rm and}\;\; 2x+3(7-4x)=2 \\
&\Longleftrightarrow & y=7-4x \;\;{\rm and}\;\; x=19/10 \\
&\Longleftrightarrow & y=-3/5 \;\;{\rm and}\;\; x=19/10
\end{eqnarray}\]
\[\begin{eqnarray} &&x^2+xy+1= 0\;\;{\rm and} \;\; x^2-x-y=0\\
&\Longleftrightarrow & xy+1+x+y= 0\;\;{\rm and} \;\; x^2-x-y=0\\
&\Longleftrightarrow & (x+1)(y+1)=0 \;\;{\rm and}\;\; x^2-x-y=0 \\
&\Longleftrightarrow & (x=-1\;\;{\rm or}\;\;y=-1)\;\;{\rm and}\;\; x^2-x-y=0 \\
&\Longleftrightarrow & (x=-1\;\;{\rm and}\;\; x^2-x-y=0)\;\;{\rm or}\;\;(y=-1\;\;{\rm and}\;\; x^2-x-y=0)\\
&\Longleftrightarrow & (x,y)=(-1,2)\;\;{\rm or}\;\;(y=-1\;\;{\rm and}\;\; x^2-x+1=0) \\
&\Longleftrightarrow &(x,y)=(-1,2)\;\;{\rm or}\;\; \begin{cases} y=-1 \\ x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} \;\;{\rm or}\;\; x=\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\end{cases}\\
&\Longleftrightarrow &(x,y)=(-1,2)\;\;{\rm or}\;\;
(x,y)=(\frac{1+\sqrt{3}i}{2},-1) \;\;{\rm or}\;\;(x,y)=(\frac{1-\sqrt{3}i}{2},-1)
\end{eqnarray}\]
1つめの同値は,二つの式を足してできた.
3つめの同値は,$AB=0\Longleftrightarrow A=0\;\;{\rm or}\;\; B=0$.
4つめの同値は,分配法則.

One Thought on “「同値を制するもの受験数学を制す」第4回 演習問題とその解説”

  •  動画投稿有難うございます!同値性に関してしっかり解説、説明否、解説or説明してくれる動画は数少ないので本当に助かっています!これからもよろしくお願い致しますm(_ _)m

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