「同値を制するもの受験数学を制す」第6回　演習問題とその解説

2019年7月30日2020年4月19日

6.分数式と無理式の入った方程式・不等式

次の不等式を解け．

１ $1<\displaystyle\frac{1}{x-2}$

２ $\sqrt{2-x}\leq x+1$

解説

１ \[\begin{eqnarray} && 1 < \frac{1}{x-2}\\
&\Longleftrightarrow & \frac{3-x}{x-2} \gt 0 \\
&\Longleftrightarrow & (3-x)(x-2) \gt 0 \\
&\Longleftrightarrow & 2\lt x \lt 3 \end{eqnarray}\]

２ \[\begin{eqnarray} && \sqrt{2-x}\leq x+1\\
&\Longleftrightarrow & 2-x\leq (x+1)^2\;\;{\rm and}\;\; 2-x\geq 0 \;\;{\rm and}\;\; x+1\geq 0\\
&\Longleftrightarrow & x^2+3x-1 \geq 0 \;\;{\rm and}\;\; x\leq 2 \;\;{\rm and}\;\; x\geq -1 \\
&\Longleftrightarrow & \left\{x\leq \frac{-3-\sqrt{13}}{2}\;\;{\rm or}\;\;\frac{-3+\sqrt{13}}{2} \leq x\right\} \;\;{\rm and}\;\; -1\leq x \leq 2\\
&\Longleftrightarrow &\frac{-3+\sqrt{13}}{2}\leq x\leq 2 \end{eqnarray}\]