「同値を制するもの受験数学を制す」第8回　演習問題とその解説

次の不等式を解け．

１ $\log_2(x-1)-\log_2(x-2)>2$

２ $\log_2 4x -\log_x 4=1$

１ \[\begin{eqnarray} && \log_2(x-1)-\log_2(x-2)>2\\
&\Longleftrightarrow & \log_2(x-1)-\log_2(x-2)>2 \;\;{\rm and}\;\; x > 2 \\
&\Longleftrightarrow & \log_2\frac{x-1}{x-2} >2 \;\;{\rm and}\;\; x > 2 \\
&\Longleftrightarrow & \frac{x-1}{x-2}>4 \;\;{\rm and}\;\; x > 2 \\
&\Longleftrightarrow & x-1>4(x-2) \;\;{\rm and}\;\; x > 2 \\
&\Longleftrightarrow & x< \frac{7}{3} \;\;{\rm and}\;\; x > 2 \\
&\Longleftrightarrow & 2 < x< \frac{7}{3}
\end{eqnarray}\] 2つ目の同値で，$x-2\neq 0$であるから割っても良いこと，4つ目の同値で，$x-2> 0$であるから不等号の向きが変わらないことに注意しよう．

２ \[\begin{eqnarray} && \log_2 4x -\log_x 4=1\\
&\Longleftrightarrow & \log_2 4x -\log_x 4=1 \;\;{\rm and}\;\; x > 0 \;\;{\rm and}\;\; x \neq 1\\
&\Longleftrightarrow & \log_2 4+\log_2 x -\frac{\log_2 4}{\log_2 x}=1 \;\;{\rm and}\;\; x > 0 \;\;{\rm and}\;\; x \neq 1\\
&\Longleftrightarrow & (\log_2 x)^2 +\log_2 x -2=0 \;\;{\rm and}\;\; x > 0 \;\;{\rm and}\;\; x \neq 1\\
\\
&\Longleftrightarrow & (\log_2 x=-2 \;\;{\rm or}\;\;\log_2 x=1)\;\;{\rm and}\;\; x > 0 \;\;{\rm and}\;\; x \neq 1\\
&\Longleftrightarrow & x=\frac{1}{4}\;\;{\rm or}\;\; x=2\end{eqnarray}\] 底の条件に注意しよう．