8.対数の入った方程式・不等式

次の不等式を解け.

$\log_2(x-1)-\log_2(x-2)>2$

$\log_2 4x -\log_x 4=1$

解説

\[\begin{eqnarray} && \log_2(x-1)-\log_2(x-2)>2\\
&\Longleftrightarrow & \log_2(x-1)-\log_2(x-2)>2 \;\;{\rm and}\;\; x > 2 \\
&\Longleftrightarrow & \log_2\frac{x-1}{x-2} >2 \;\;{\rm and}\;\; x > 2 \\
&\Longleftrightarrow & \frac{x-1}{x-2}>4 \;\;{\rm and}\;\; x > 2 \\
&\Longleftrightarrow & x-1>4(x-2) \;\;{\rm and}\;\; x > 2 \\
&\Longleftrightarrow & x< \frac{7}{3} \;\;{\rm and}\;\; x > 2 \\
&\Longleftrightarrow & 2 < x< \frac{7}{3}
\end{eqnarray}\]
2つ目の同値で,$x-2\neq 0$であるから割っても良いこと,4つ目の同値で,$x-2> 0$であるから不等号の向きが変わらないことに注意しよう.

\[\begin{eqnarray} && \log_2 4x -\log_x 4=1\\
&\Longleftrightarrow & \log_2 4x -\log_x 4=1 \;\;{\rm and}\;\; x > 0 \;\;{\rm and}\;\; x \neq 1\\
&\Longleftrightarrow & \log_2 4+\log_2 x -\frac{\log_2 4}{\log_2 x}=1 \;\;{\rm and}\;\; x > 0 \;\;{\rm and}\;\; x \neq 1\\
&\Longleftrightarrow & (\log_2 x)^2 +\log_2 x -2=0 \;\;{\rm and}\;\; x > 0 \;\;{\rm and}\;\; x \neq 1\\
\\
&\Longleftrightarrow & (\log_2 x=-2 \;\;{\rm or}\;\;\log_2 x=1)\;\;{\rm and}\;\; x > 0 \;\;{\rm and}\;\; x \neq 1\\
&\Longleftrightarrow & x=\frac{1}{4}\;\;{\rm or}\;\; x=2\end{eqnarray}\]
底の条件に注意しよう.

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