9.関数方程式と微分

次の不等式を解け.

$\displaystyle\int_1^x f(t){\rm d}t=x^3+x^2$

$f(x)=\displaystyle\int_0^x g(t){\rm d}t \;\;{\rm and}\;\; g(x)=x(x-1)+\int_0^1 f(t){\rm d}t$

解説

\[\begin{eqnarray} && \displaystyle\int_1^x f(t){\rm d}t=x^3+x^2\\
&\Longleftrightarrow &
\begin{cases} f(x)=3x^2+2x \\
0=1^3+1^2\end{cases}
\\
&\Longleftrightarrow & \begin{cases} f(x)=3x^2+2x \\
\mathbb{F}\end{cases} \\
&\Longleftrightarrow & \mathbb{F}
\end{eqnarray}\]
よって解なしです.
この問題だけ見ると,両辺微分して$f(x)=3x^2+2x$で終わり!とする人が多いですが,これは必要条件に過ぎません.試しに$f(x)=3x^2+2x$に代入しても,元の方程式を満たしません!

$g(x)=x^2-x+a$とおくと,\[\begin{eqnarray} && f(x)=\displaystyle\int_0^x g(t){\rm d}t \;\;{\rm and}\;\; g(x)=x(x-1)+\int_0^1 f(t){\rm d}t\\
&\Longleftrightarrow & \begin{cases}
f'(x)=g(x)\\
f(0)=0\\
g(x)=x(x-1)+\int_0^1 f(t){\rm d}t \end{cases}
\\
&\Longleftrightarrow &\begin{cases}
f'(x)=x^2-x+a\\
f(0)=0\\
a=\int_0^1 f(t){\rm d}t \end{cases}\\
&\Longleftrightarrow & \begin{cases}
f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+ax\\
a=\int_0^1 f(t){\rm d}t \end{cases}
\\
&\Longleftrightarrow & \begin{cases}
f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+ax\\
a=\frac{1}{12}-\frac{1}{6}+\frac{1}{2}a \end{cases}
\\
&\Longleftrightarrow & \begin{cases}
f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+ax\\
a=-\frac{1}{6} \end{cases}
\\
&\Longleftrightarrow & \begin{cases}
f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{6}x\\
g(x)=x^2-x-\frac{1}{6}x \end{cases}
\\
\end{eqnarray}\]

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