10.解とグラフの共有点,2次方程式と判別式

$kx^2-(k+2)x+3=0$がちょうど1つの実数解を持つ$k$の条件を求めよ.

「2次方程式$x^2+kx+2=0$が実数解をもつ」という$k$の条件を,グラフの共有点に関する
同値な条件に言い換えた上で,その条件を求めよ.

解説

(i)$k=0$のとき

方程式は,$-2x+3=0$となり,$x=\displaystyle \frac{3}{2}$という実数解をただ1つ持つ.

(ii)$k\neq 0$のとき

この下では,方程式は2次方程式だから,
\[\begin{eqnarray} 与方程式 & \Longleftrightarrow & (k+2)^2-12k>0 \\
&\Longleftrightarrow & k^2-8k+4>0\\
&\Longleftrightarrow & k<4-2\sqrt{3}\;{\rm or}\; 4+2\sqrt{3}< k \end{eqnarray}\]

以上二通りをまとめて,
\[ k=0\;{\rm or}\; (k\neq 0\; {\rm and}\; (k<4-2\sqrt{3}\;{\rm or}\; 4+2\sqrt{3}< k))\]
すなわち
\[ k<4-2\sqrt{3}\;{\rm or}\; 4+2\sqrt{3}< k\]


\[\begin{eqnarray}&&「2次方程式x^2+kx+2=0が実数解をもつ」\\
&\Longleftrightarrow & y=x^2+kx+2がx軸と交わる\\
&\Longleftrightarrow & k^2-8\geq 0\\
&\Longleftrightarrow & k\leq -2\sqrt{2}\;{\rm or}\; 2\sqrt{2} \leq k\end{eqnarray}\]

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