11.解の配置

$x^2-ax+a+3=0$が$0< x< 4$の範囲に少なくとも1つ実数解を持つ$a$の条件を求めよ.

解説

$f(x)=x^2-ax+a+3$とおく.「$f(x)=0$が$0< x< 4$の範囲に実数解を持たない」ことは,「『$f(x)=0$が実数解を持たない』または『$f(x)=0$が$x \leq 0\; {\rm or}\; 4 \leq x$の範囲に重解を持つ』または『$f(x)=0$が$x \leq 0, 4 \leq x$の範囲に異なる二つの解を持つ』」ことと同値である.

1つ目について:$(D=)a^2-4a-12 < 0$すなわち$-2 < a <6$と同値である.

2つ目について:$(D=)a^2-4a-12 = 0$かつ「$a/2 \leq 0\; {\rm or}\; 4 \leq a/2$」と同値である.すなわち,$a=-2$と同値である.

3つ目について:まず,$x\leq 0,4\leq x$の範囲に1つずつ解を持つのは,$(D=)a^2-4a-12 > 0$かつ$f(0)\leq 0$かつ$f(4)\leq 0$と同値である.すなわち,$(a \lt -2\; {\rm or}\; 6 \lt a)$かつ$a\leq -3$かつ$a\geq 19/3$と同値である.これは不適.
続いて,$x\leq 0$の範囲に2つ解を持つのは,判別式の条件$a \lt -2\; {\rm or}\; 6 \lt a$かつ軸について$\frac{a}{2}<0$かつ端点について$f(0)\geq 0$であるから,$(a \lt -2\; {\rm or}\; 6 \lt a) \; {\rm and }\; a\lt 0 \; {\rm and }\; a\geq -3$であり,すなわち$-3\leq x\lt -2$である.
続いて,$x\geq 4$の範囲に2つ解を持つのは,判別式の条件$a \lt -2\; {\rm or}\; 6 \lt a$かつ軸について$\frac{a}{2}>4$かつ端点について$f(4)\geq 0$であるから,$(a \lt -2\; {\rm or}\; 6 \lt a) \; {\rm and }\; a\gt 8 \; {\rm and }\; a\leq \frac{19}{3}$であり,これは不適.
以上から,「$f(x)=0$が$0< x< 4$の範囲に実数解を持たない」ことは$-3\leq a < 6$と同値である.よって,求める条件は$a < -3\; {\rm or}\; 6\leq a$である.

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