11.解の配置

$x^2-ax+a+3=0$が$0< x< 4$の範囲に少なくとも1つ実数解を持つ$a$の条件を求めよ.

解説

「$x^2-ax+a+3=0$が$0< x< 4$の範囲に少なくとも1つ実数解を持つ」ことは,「$x^2-ax+a+3=0$が重解を含め$0< x< 4$の範囲に2つ解を持つ または $x^2-ax+a+3=0$が$0< x< 4$の範囲に1つのみ解を持つ」ことと同値である.
$f(x)=x^2-ax+a+3$とする.
前者は,
\[\begin{eqnarray}&&\begin{cases}
(D=)a^2-4a-12\geq 0\\
0< a/2 < 4\\
f(0)=a+3> 0\\
f(4)=-3a+19 > 0
\end{cases}\\
&\Longleftrightarrow & \begin{cases}a\leq -2\;{\rm or}\; 6\leq a\\
a>-3\\
a<19/3\end{cases}\\
&\Longleftrightarrow & 6\leq a < 19/3\end{eqnarray}\]
と同値である.
後者は,
\[\begin{eqnarray}f(0)f(4)<0
&\Longleftrightarrow & (a+3)(19-3a)<0\\
&\Longleftrightarrow & a<-3\; {\rm or}\; 19/3 < a \end{eqnarray}\]

以上から,
\[a<-3\; {\rm or}\;6\leq a < 19/3 \; {\rm or}\; 19/3 < a \]

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