12.2つの実数の正負と解の配置

$\alpha,\beta$を実数とする.
(1) $\alpha,\beta$が共に0以上であることは,「$\alpha+\beta\geq 0 \;{\rm and}\; \alpha\beta\geq 0$」の(   )条件である.
(2) $\alpha,\beta$の一方が0以上で他方が0以下であることは,$\alpha\beta\leq 0$の(   )条件である.

$x^2+ax+a^2-3=0$が異なる二つの実数解を持ち,一方が1より大きく他方が1より小さいような$a$の値の範囲を求めよ.

解説

(1) 十分条件であることは明らかです.必要条件についても真です.以下それを示します.
$\alpha+\beta\geq 0 \;{\rm and}\; \alpha\beta\geq 0$であることを仮定します.$\alpha,\beta$が共に0でないときは,$\alpha+\beta > 0 \;{\rm and}\; \alpha\beta > 0$ですから,動画で述べたことから$\alpha,\beta$が共に正であることが従います.$\alpha,\beta$の少なくとも一方が0であるとしましょう,対称性から$\alpha$が0であるとします.すると$\alpha+\beta\geq 0$より$\beta$も0以上であることが従い,証明されました.
(2) これも簡単にわかるように必要十分です.

2解を$\alpha,\beta$とします.題意の条件は,$(D=)a^2-4a^2+12>0$かつ$(\alpha -1)(\beta -1) < 0$と同値です.前者は$-2 < a < 2$と同値で,後者は解と係数の関係から$a^2-3+a+1 < 0$即ち$-2 < a <1$と同値です.よって,2つを合わせて求める条件は$-2 < a < 1$となります.

2 Thoughts on “「同値を制するもの受験数学を制す」第12回 演習問題とその解説”

  • (2)も同値じゃないですか?反例間違ってません?私は数学が苦手なので勘違いしてるかもしれませんが・・・

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