「同値を制するもの受験数学を制す」第12回　演習問題とその解説

１ $\alpha,\beta$を実数とする．
(1) $\alpha,\beta$が共に0以上であることは，「$\alpha+\beta\geq 0 \;{\rm and}\; \alpha\beta\geq 0$」の（　　　）条件である．
(2) $\alpha,\beta$の一方が0以上で他方が0以下であることは，$\alpha\beta\leq 0$の（　　　）条件である．

２ $x^2+ax+a^2-3=0$が異なる二つの実数解を持ち，一方が1より大きく他方が1より小さいような$a$の値の範囲を求めよ．

１(1) 十分条件であることは明らかです．必要条件についても真です．以下それを示します．
$\alpha+\beta\geq 0 \;{\rm and}\; \alpha\beta\geq 0$であることを仮定します．$\alpha,\beta$が共に0でないときは，$\alpha+\beta > 0 \;{\rm and}\; \alpha\beta > 0$ですから，動画で述べたことから$\alpha,\beta$が共に正であることが従います．$\alpha,\beta$の少なくとも一方が0であるとしましょう，対称性から$\alpha$が0であるとします．すると$\alpha+\beta\geq 0$より$\beta$も0以上であることが従い，証明されました．
(2) これも簡単にわかるように必要十分です．

２ 2解を$\alpha,\beta$とします．題意の条件は，$(D=)a^2-4a^2+12>0$かつ$(\alpha -1)(\beta -1) < 0$と同値です．前者は$-2 < a < 2$と同値で，後者は解と係数の関係から$a^2-3+a+1 < 0$即ち$-2 < a <1$と同値です．よって，2つを合わせて求める条件は$-2 < a < 1$となります．