13.存在命題の処理

$2k\leq x \leq 3k$かつ$x=k+2$をを満たす$x$が存在するような実数$k$の条件を求めよ.

$y=2x+1$と$y=x+2k$が交わり,その交点の$x$座標が$-1\leq x \leq 1$であるような実数$k$の条件を求めよ.

解説


\begin{eqnarray*}
&&\exists\; x \begin{cases} 2k\leq x \leq 3k \\ x=k+2\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow & 2k\leq k+2 \leq 3k\\
&\Longleftrightarrow & \begin{cases} 2k\leq k+2 \\ k+2 \leq 3k \end{cases}\\
&\Longleftrightarrow & \begin{cases} k\leq 2 \\ 1 \leq k \end{cases}\\
&\Longleftrightarrow & 1\leq k\leq 2
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
&&\exists\; x,\; \exists\; y \begin{cases} y=2x+1\\ y=x+2k\\ -1\leq x \leq 1 \end{cases}\\
& \Longleftrightarrow & \exists\; x\; \begin{cases} x+2k=2x+1\\ -1\leq x \leq 1 \end{cases}\\
& \Longleftrightarrow & \exists\; x\; \begin{cases} x=2k-1\\ -1\leq x \leq 1 \end{cases}\\
& \Longleftrightarrow & -1\leq 2k-1\leq 1\\
& \Longleftrightarrow & 0\leq k \leq 1
\end{eqnarray*}

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