「同値を制するもの受験数学を制す」第14回　演習問題とその解説

１ $1\leq x\leq 4$のとき，$f(x)=5x+3$のとりうる値の範囲を求めよ．

２ $f(x)=\displaystyle\frac{x-3}{x^2-2x+2}$のとりうる値の範囲を求めよ．

１\begin{eqnarray*}
&&f(x)がkという値をとる\\
& \Longleftrightarrow & \exists\: x,\; 1\leq x\leq 4 \;\;\;{\rm and}\;\;\; 5x+3=k\\
& \Longleftrightarrow & \exists\: x,\; 1\leq x\leq 4 \;\;\;{\rm and}\;\;\; x=\frac{k-3}{5}\\
& \Longleftrightarrow & 1\leq \frac{k-3}{5}\leq 4\\
& \Longleftrightarrow &8\leq k\leq 23
\end{eqnarray*}
よって，とりうる値の範囲は$8\leq f(x)\leq 23$である．

２ \begin{eqnarray*}
&&f(x)がkという値をとる\\
& \Longleftrightarrow & \exists\: x,\; \frac{x-3}{x^2-2x+2}=k\\
& \Longleftrightarrow & \exists\: x,\; x-3=k(x^2-2x+2)\;\;\;（分母は0にならないので同値）\\
& \Longleftrightarrow & \exists\: x,\; kx^2-(2k+1)x+2k+3=0\\
& \Longleftrightarrow & kx^2-(2k+1)x+2k+3=0が実数解をもつ
\end{eqnarray*}
$k=0$のときは，「$-x+3=0$は実数解をもつ」となり，これは真である．\\
$k\neq 0$のときは，判別式の条件より
\begin{eqnarray*}
(2k+1)^2-4k(2k+3)\geq 0 &\Longleftrightarrow & 4k^2+8k-1\leq 0\\
&\Longleftrightarrow & \frac{-2-\sqrt{5}}{2}\leq k \leq \frac{-2+\sqrt{5}}{2}
\end{eqnarray*}
以上合わせて，とりうる値の範囲は$\displaystyle\frac{-2-\sqrt{5}}{2}\leq f(x) \leq \frac{-2+\sqrt{5}}{2}$である．