前回は行列の演算について学びました．今回は，計算法則について主に見ていくこととします．
\(A,B,C\)などは行列とし，それぞれで演算ができるような型であるとする．
また\(\alpha\in \mathbb{K}\)とする．
この時，次が成り立つ：
(1) \(A+B=B+A\)（交換法則）
(2) \((A+B)+C=A+(B+C)\)，\((AB)C=A(BC)\)（結合法則）
(3) \(A(B+C)=AB+AC\)，\((A+B)C=AC+BC\)（分配法則）
(4) \(\alpha (AB)=A(\alpha B)\) ◆
前回も述べた通り，積の交換法則は成り立ちません．逆にそれ以外であれば許されます．
証明は，「積の定義」を理解する練習として，(2)の積の結合法則だけ見ることとします．(3)の前半についてを演習問題とします．他は直感的に当たり前です．
\(A=(a_{ij})_{1\leq j \leq q}^{ 1\leq i \leq p} \)， \(B=(b_{ij})_{1\leq j \leq r}^{ 1\leq i \leq q} \)， \(C=(c_{ij})_{1\leq j \leq s}^{ 1\leq i \leq r} \)とする．
\(AB\)の\(ij\)成分（＝\(i\)行\(j\)列成分）は，\(\displaystyle\sum_{k=1}^q a_{ik}b_{kj}\)である．
\((AB)C\)の\(ij\)成分は，\(\displaystyle\sum_{l=1}^{r}\left(\sum_{k=1}^q a_{ik}b_{kl}\right)c_{lj}\)である．
同様に，\(A(BC)\)も計算する．
\(BC\)の\(ij\)成分は，\(\displaystyle\sum_{l=1}^r b_{il}c_{lj}\)である．
\(A(BC)\)の\(ij\)成分は，\(\displaystyle\sum_{k=1}^{q} a_{ik}\left(\sum_{l=1}^rb_{kl}c_{lj}\right)\)である．
\[\displaystyle\sum_{l=1}^{r}\left(\sum_{k=1}^q a_{ik}b_{kl}\right)c_{lj}=\sum_{k,l} a_{ik}b_{kl}c_{lj}=\sum_{k=1}^{q} a_{ik}\left(\sum_{l=1}^rb_{kl}c_{lj}\right)\]より，示された．◆
※大学に入ると和の記号の使い方がより柔軟になります．\(\displaystyle \sum_{1\leq k\leq 4},k\in\mathbb{Z}\)と書けば，\(k\)が1から4までの整数を動くときの和を表します，つまり高校までの表し方である\(\displaystyle \sum_{k=1}^{4}\)と同じ意味です．例えば\(\displaystyle \sum_{k|n}\)と書けば\(n\)の約数となる\(k\)に対して和を取れ，という意味です（\(k|n\)は「\(k\)は\(n\)の約数」という意味を表す記号です）．今回の\(\displaystyle\sum_{k,l}\)は\(k\)と\(l\)を動かして和を取れ，と言っていますが他の条件はついていません．そのようなときは適当な文脈で読みます．それまでの議論で\(1\leq k \leq q\)などとしていたので，そのような範囲で和を取れ，ということです．これは文脈に頼る略記ですのであまりよくはないです．答案での多用をやめましょう．
特別な行列が2つあるので，それをまず押さえましょう．
零行列
成分がすべて0(ゼロ)である行列を零行列といい，\(O\)（アルファベットのオー）で表す．単位行列
\(n\)次正方行列（\(n\times n\)行列，正方形の形をした行列）であって，対角成分（正方形の左上から右下へ対角線上に並んだ成分）が1,それ以外がすべて0の行列を単位行列という．すなわち，\(A=(a_{ij})\)が単位行列であるとは，\[ a_{ii}=1\; (1\leq i \leq n)\]\[ a_{ij}=0\; (i\neq j)\]なる行列であるときを言う．
\(n\)次単位行列を特に\(E_n,I_n\)などと書く．ここでは\(E_n\)を採用する．例えば，\[E_3=\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right)\]
この2つの行列はとても大事です．以下の性質が成り立ちます．
\(A\)を任意の行列とする．
(1) \(A+O=O+A=A\)
(2) \(AE=EA=A\)
(3) \(AO=OA=O\) ◆
簡単に言えば，零行列\(O\)は実数における0，単位行列\(E\)は実数における1みたいなものです．0になにを足しても，あるいは1になにをかけても値は変わりません．0になにをかけても0です．このような性質を持っているのが，零行列，単位行列です．これらの命題の証明は簡単（当たり前，自明，trivial）ですのでここでは省略します．
行列\(A=(a_{ij})\)に対して，\(^tA=(a_{ji})\)を\(A\)の転置行列と言います．転置行列の\(ij\)成分は，元の行列の\(ji\)成分なのですから，すなわち対角線に関してひっくり返した行列が転置行列です．
行列を転置させると，当然行列の型も変わります．\((p,q)\)型行列は\((q,p)\)型になります．
A = \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
\end{array}
\right)\]に対しては，\[
^tA = \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 4 \\
2 & 5 \\
4 & 6
\end{array}
\right)\]です．
\(^t\!(A+B)=^t\!A+^t\!B,^t\!(AB)=^t\!B^t\!A\)である．
前者は自明．\(A\)を\((p,q)\)型行列，\(B\)を\((q,r)\)型行列として，\(A=(a_{ij}),B=(b_{ij})\)とすると，\(AB\)の\((i,j)\)成分は\(\displaystyle \sum_{k=1}^q a_{ik}b_{kj}\)であったから，\(^t\!(AB)\)の\((i,j)\)成分は\(i\)と\(j\)を入れ替えて\(\displaystyle \sum_{k=1}^q a_{jk}b_{ki}\)である．
また，\(^t\!A=(a_{ji})\)，\(^t\!B=(b_{ji})\)だから\(^t\!B^t\!A\)の\((i,j)\)成分は\(\displaystyle \sum_{k=1}^q b_{ki}a_{jk}\)である．
よって示された．