「同値を制するもの受験数学を制す」第15回　演習問題とその解説

１ 変数$x,y$が$x+4y\leq 16,3x+y\leq 15, x\geq 0,y\geq 0$を満たすとき，$f(x,y)=x-y$のとりうる値の範囲を求めよ．

１\begin{eqnarray*}
&&f(x,y)がkという値をとる\\
& \Longleftrightarrow & \exists\: x,\; \begin{cases} x-y=k\\ x+4y\leq 16 かつ 3x+y\leq 15 かつ x\geq 0 かつ y\geq 0\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow & 直線 y=x-k と領域 x+4y\leq 16,3x+y\leq 15, x\geq 0,y\geq 0 が共有点をもつ
\end{eqnarray*}
$k$が最大となるのは，
共有点が$(x,y)=(5,0)$のときで，$k=5$である．$k$が最小になるのは，共有点が$(x,y)=(0,4)$のときで，$k=4$である．$k$がこの間の値のとき，直線と領域は共有点を持つから，$k$のとりうる値の範囲は$4\leq x\leq 5$．