17.三角関数の置き換え
１ 実数$x,y$が条件$$x^2+y^2=1$$を満たしながら動くとき，$2x^2+3y-1$のとりうる値の範囲を求めよ．
解説
１\begin{eqnarray*}
&&2x^2+3y-1がkという値をとる\\
& \Longleftrightarrow & \exists\: x,\; \exists\: y,\; \begin{cases} x^2+y^2=1\\ 2x^2+3y-1=k\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow & \exists\: \theta , 2\cos^2\theta +3\sin\theta-1=k\\
& \Longleftrightarrow & \exists\: \theta , 2(1-\sin^2\theta) +3\sin\theta-1=k\\
& \Longleftrightarrow & \exists\: \theta , -2\sin^2\theta +3\sin\theta+1=k\\
& \Longleftrightarrow & \exists\: t , \begin{cases} -1\leq t\leq 1 \\ -2t^2+3t+1=k\end{cases}\\
\end{eqnarray*}
従って，求めるとりうる値の範囲は，$-1\leq t\leq 1$を定義域とする関数$f(t)=-2t^2+3t+1$のとりうる値の範囲と等しく，
\[f(t)=-2\left(t-\frac{3}{4}\right)^2+\frac{17}{8}\]
であるから，求めるとりうる値の範囲は，
\[-4\leq 2x^2+3y-1\leq \frac{17}{8}\]
&&2x^2+3y-1がkという値をとる\\
& \Longleftrightarrow & \exists\: x,\; \exists\: y,\; \begin{cases} x^2+y^2=1\\ 2x^2+3y-1=k\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow & \exists\: \theta , 2\cos^2\theta +3\sin\theta-1=k\\
& \Longleftrightarrow & \exists\: \theta , 2(1-\sin^2\theta) +3\sin\theta-1=k\\
& \Longleftrightarrow & \exists\: \theta , -2\sin^2\theta +3\sin\theta+1=k\\
& \Longleftrightarrow & \exists\: t , \begin{cases} -1\leq t\leq 1 \\ -2t^2+3t+1=k\end{cases}\\
\end{eqnarray*}
従って，求めるとりうる値の範囲は，$-1\leq t\leq 1$を定義域とする関数$f(t)=-2t^2+3t+1$のとりうる値の範囲と等しく，
\[f(t)=-2\left(t-\frac{3}{4}\right)^2+\frac{17}{8}\]
であるから，求めるとりうる値の範囲は，
\[-4\leq 2x^2+3y-1\leq \frac{17}{8}\]