京大2021年理系第4問解答

京大2021年理系第4問
曲線 $y=\log(1+\cos x)$ の $0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ の部分の長さを求めよ.

ポイント

曲線の長さに関する以下の公式を用います.$\dint \frac{1}{\cos x}$の積分はできるようになりましょう.

曲線の長さ( $y=f(x)$ パターン)

曲線 $y=f(x)$ の $a\leq x\leq b$ の部分の長さ $L$ は,

\[ L=\int_a^b \sqrt{1+\{f(x)\}^2}dx\]

解答

\begin{eqnarray*} L&=& \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+(y’)^2}dx \\ &=& \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+\left(-\dfrac{\sin x}{1+\cos x}\right )^2}dx \\ &=& \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\dfrac{(1+\cos x)^2+\sin^2 x}{(1+\cos x)^2}}dx \\ &=& \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\dfrac{2}{1+\cos x}}dx \\ &=& \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{1}{\cos \dfrac{x}{2}}dx \\ &=& 2\int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{1}{\cos x}dx \\ &=& 2\int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{\cos x}{\cos^2 x}dx \\ &=& 2\int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{\cos x}{1-\sin^2 x}dx \\ &=& \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left(\dfrac{\cos x}{1+\sin x}+\dfrac{\cos x}{1-\sin x}\right)dx \\ &=& \biggl[ \log (1+\sin x)-\log(1-\sin x)\biggr]_0^{\frac{\pi}{4}}\\ &=& 2\log(1+\sqrt{2}) \end{eqnarray*}

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