京大2021年理系第2問解答

曲線 $y=\bunsuu{1}{2}(x^2+1)$ 上の点Pにおける接線は $x$ 軸と交わるとし，その交点をQとおく．線分PQの長さを $L$ とするとき， $L$ がとりうる値の最小値を求めよ．

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ポイント

最大・最小問題は，以下のような手順で解きます：

動きうるものを文字で設定する．取りうる値の範囲を確認する

今回の問題では，Pの $x$ 座標を $t$ とおき，$t\neq 0$ の範囲を動きます．

最大値・最小値を求めたいものを，その文字で表す．

PQの長さを $t$ を用いて表します．

最大値・最小値を微分などを用いて計算する

解答

P$\left( t, \bunsuu{1}{2}(t^2+1)\right)$とおく．$y=\bunsuu{1}{2}(x^2+1)$について$y’=x$より，Pにおける接線の方程式は \[y=t(x-t)+\bunsuu{1}{2}(t^2+1)\]即ち\[y=tx-\bunsuu{1}{2}t^2+\bunsuu{1}{2}\] である．$y=0$とすると，$t\neq 0$の下では$x=\bunsuu{1}{2}t-\bunsuu{1}{2t}$であるから， Pにおける接線と$x$軸は，$t\neq 0$のときに交わり，その交点の$x$座標は$\bunsuu{1}{2}t-\bunsuu{1}{2t}$である．以下，$t$は$t\neq 0$をとりうるとする． \begin{eqnarray*} L^2 &=& \left(\bunsuu{1}{2}t-\bunsuu{1}{2t} – t\right)^2+\left\{\bunsuu{1}{2}(t^2+1)\right\}^2\\ &=& \bunsuu{(t^2+1)^3}{4t^2} \end{eqnarray*} $t^2=u$とおくと，$u$は$u>0$の範囲をとりうる．$f(u)=\bunsuu{(u+1)^3}{u}$とおくと， \[f'(u)=\bunsuu{(u+1)^2(2u-1)}{u^2}\] であるから，$f(u)$の増減表は以下のようになる： \[ \begin{array}{c||c|c|c|c} u&0&\cdots&\bunsuu{1}{2}&\cdots\\ \hline f'(u)&&-&0&+\\ \hline f(u)&&\searrow&\bunsuu{27}{4}&\nearrow \end{array} \] よって，$f(u)$の最小値は$f\left(\bunsuu{1}{2}\right)=\bunsuu{27}{4}$であり，従って$L$の最小値は， \[\sqrt{\bunsuu{1}{4}\cdot \bunsuu{27}{4}}=\bunsuu{3\sqrt{3}}{4}\] である．

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ポイント

解答

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