京大2021年理系第2問解答

京大2021年理系第2問解答

曲線 $y=\bunsuu{1}{2}(x^2+1)$ 上の点Pにおける接線は $x$ 軸と交わるとし,その交点をQとおく.線分PQの長さを $L$ とするとき, $L$ がとりうる値の最小値を求めよ.

解説動画

ポイント

最大・最小問題は,以下のような手順で解きます:

動きうるものを文字で設定する.取りうる値の範囲を確認する

今回の問題では,Pの $x$ 座標を $t$ とおき,$t\neq 0$ の範囲を動きます.

最大値・最小値を求めたいものを,その文字で表す.

PQの長さを $t$ を用いて表します.

最大値・最小値を微分などを用いて計算する

解答

P$\left( t, \bunsuu{1}{2}(t^2+1)\right)$とおく.$y=\bunsuu{1}{2}(x^2+1)$について$y’=x$より,Pにおける接線の方程式は \[y=t(x-t)+\bunsuu{1}{2}(t^2+1)\]即ち\[y=tx-\bunsuu{1}{2}t^2+\bunsuu{1}{2}\] である.$y=0$とすると,$t\neq 0$の下では$x=\bunsuu{1}{2}t-\bunsuu{1}{2t}$であるから, Pにおける接線と$x$軸は,$t\neq 0$のときに交わり,その交点の$x$座標は$\bunsuu{1}{2}t-\bunsuu{1}{2t}$である.以下,$t$は$t\neq 0$を とりうるとする. \begin{eqnarray*} L^2 &=& \left(\bunsuu{1}{2}t-\bunsuu{1}{2t} – t\right)^2+\left\{\bunsuu{1}{2}(t^2+1)\right\}^2\\ &=& \bunsuu{(t^2+1)^3}{4t^2} \end{eqnarray*} $t^2=u$とおくと,$u$は$u>0$の範囲をとりうる.$f(u)=\bunsuu{(u+1)^3}{u}$とおくと, \[f'(u)=\bunsuu{(u+1)^2(2u-1)}{u^2}\] であるから,$f(u)$の増減表は以下のようになる: \[ \begin{array}{c||c|c|c|c} u&0&\cdots&\bunsuu{1}{2}&\cdots\\ \hline f'(u)&&-&0&+\\ \hline f(u)&&\searrow&\bunsuu{27}{4}&\nearrow \end{array} \] よって,$f(u)$の最小値は$f\left(\bunsuu{1}{2}\right)=\bunsuu{27}{4}$であり,従って$L$の最小値は, \[\sqrt{\bunsuu{1}{4}\cdot \bunsuu{27}{4}}=\bunsuu{3\sqrt{3}}{4}\] である.

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