解説:Coleman積分論とそのp進多重ゼータ値への応用について

古賀の修士論文を,公開用に一部編集し直したものです.

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こちら(2022/3/31公開)

本書を読むにあたって

 本書を読むにあたって必要な事項は第2章にまとめているが,それ以前の前提として代数幾何やリジッド幾何の用語や概念に馴染みがあることが必要であろう.また, Coleman積分 と $p$MZV については,[Har19] で基礎的なことを学ぶことができる.これは大変読みやすくそして詳しい解説記事であり,それを読んでからそれに続く内容として本書を読むのがもっとも良いであろう.

概要

 本書は, $p$ 進積分論の1つである Coleman 積分論と,$p$ 進多重ゼータ値の定義と性質(特に複シャッフル関係式)についてである.

 第2章では,いくつかの準備をおこなう.必要となる unipotent isocrystal や淡中圏に関する事実を復習する.

 第3章では,Coleman 積分論を扱う.3.1節で Coleman 積分論の発端となった Coleman [Col82] による定式化を紹介したあと,3.2節では Besser [Bes02] による淡中圏を用いた解釈を紹介する.Coleman による定式化では$\mathbb{P}^1$上の積分に限られていたものが,Besser による方法では高次元に拡張されている.さらに3.3節では, Besser-Furusho [BF06] による Coleman 関数の接基点への解析接続について紹介する.同じ論文で導入された代数的起源の Coleman 関数の積分理論について詳細を述べた.

 第4章では,$p$ 進多重ゼータ値(以下 $p$MZV)$\zeta_p(\mathbf{a})$ を扱う.まず4.1節では,複素多重ゼータ値(以下MZV)$\zeta(\mathbf{a})$ のいくつかの性質を簡単に紹介する.4.2節では,MZVの $p$ 進類似である $p$MZV を定義する.MZV がポリログ ${\rm Li}_{\mathbf{a}}(z)$ の $z\rightarrow 1$ の極限として与えることができる点に着目し,$p$MZV を$p$ 進ポリログ ${\rm Li}^{\varpi}_{\mathbf{a}}(z)$ のある種の極限として定義する.この $p$ 進ポリログは,Coleman積分論を用いて $\mathbb{P}^1\setminus \{0,1,\infty\}$上 のColeman 関数として定義されている.また, $p$MZV は,KZ方程式(定義)の2つの基本解の差である $p$進 Drinfel’d associator $\Phi_{\rm KZ}^\varpi$ を母関数にもつ.KZ方程式の基本解や $\Phi_{\rm KZ}^\varpi$ の直接的な表示を紹介し,$p$MZV の関係式の1つであるシャッフル積公式 [Fur04] \[\zeta_p(\mathbf{a})\zeta_p(\mathbf{b})=\zeta_p(\mathbf{a} \text{ш} \mathbf{b})\]の証明を紹介する(但し $\mathbf{a},\mathbf{b}$ は admissible な指数).4.3節では続いて,$p$MZVの調和積公式 [BF06] \[\zeta_p(\mathbf{a})\zeta_p(\mathbf{b})=\zeta_p(\mathbf{a} * \mathbf{b})\] の証明を紹介する.そのために,Coleman関数として $\mathcal{M}_{0,5}$ 上で定義された二重ポリログ ${\rm Li}_{\mathbf{a}}(x,y)$ の関係式を考える.調和積公式は,その二重ポリログの関係式を $\mathcal{M}_{0,5}$ の接空間に解析接続することで示される.シャッフル積公式と調和積公式から,直ちに複シャッフル関係式 \[\zeta_p(\mathbf{a} \text{ш} \mathbf{b}) = \zeta_p(\mathbf{a} * \mathbf{b})\] を得る.

参考文献

  • [Ber96] Berthelot, P., Cohomologie rigide et cohomologie rigide á supports propres, Premiiére partie. Prépublication IRMAR (1996), 96-03.
  • [Bes00] Besser, A., Syntomic regulators and p-adic integration II: $K_2$ of curves, Israel J. Math. 120 (2000), part B, 335-359.
  • [Bes02] Besser, A., Coleman integration using the Tannakian formalism, Math. Ann. 322 (2002), no. 1, 19-48.
  • [BdJ03] Besser, A., de Jeu, R., The Syntomic Regulator for the K-theory of fields,  Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 36 (2003), no. 6, 867-924 (2004).
  • [BF06] Besser, A., Furusho, H., The double shuffle relations for $p$-adic multiple zeta values, Primes and knots, Contemp. Math., 416, Amer. Math. Soc., Providence, RI (2006), 9-29.
  • [Chi98] Chiarellotto, B., Weights in rigid cohomology applications to unipotent F-isocrystals. Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 31 (1998), no.5, 683-715.
  • [CLS99] Chiarellotto, B., Le Stum, B., F-isocristaux unipotents, Compositio Math. 116 (1999), no. 1, 81-110.
  • [Col82] Coleman, R., Dilogarithms, regulators and p-adic L-functions, Invent. Math. 69 (1982), no.2, 171-208.
  • [Cre92] Crew, R., F-isocrystals and their monodromy groups, Ann. Sci.École Norm. Sup. (4) 25 (1992), no. 4, 429-464.
  • [DM18] Deligne P., Milne J.S., Tannakian Categories, (2018). https://www.jmilne.org/math/xnotes/tc2018.pdf
  • [EV92] Esnault, H., Viehweg, E., Lectures on Vanishing Theorems, DMV 20, Birkhauser, (1992).
  • [Fur04] Furusho, H.,  p-adic multiple zeta values I – p-adic multiple polylogarithms and the p-adic KZ equation, Invent. Math. 155 (2004), no. 2, 253-286.
  • [Fur07] Furusho, H.,  p-adic multiple zeta values II – Tannakian interpretations, Amer. J. Math. 129 (2007), no. 4, 1105-1144.
  • [FJ07] Furusho, H., Jafari, A., Regularization and generalized double shuffle relations for $p$-adic multiple zeta values, Compos. Math. 143 (2007), no. 5, 1089-1107.
  • [LS07] Le Stum, B., Rigid Cohomology, Cambridge Tracts in Math., 172, Cambridge Univ. Press, (2007).
  • [加藤13] 加藤 文元, 『リジッド幾何学入門』, 岩波数学業書, 岩波出版 (2013).
  • [都築98] 都築 暢夫, 『Rigid cohomology 入門』, 数理解析研究所講究録,1073 (1998), 160-167.
  • [原19] 原 隆, 『「実/複素ゼータの世界」から「$p$進ゼータの世界」へ』, 第26回整数論サマースクール「多重ゼータ値」報告集 (2019), 57-159.

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