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ここでのテーマは,「行列の一部を塊と思うことで,計算を簡略化できないか?」ということです.
行列があると,\(p-1\)個の横線,\(q-1\)個の縦線を引くことによって行列を\(pq\)個の長方形に分割できます.それぞれの長方形は再び行列だと思うことができて,一つの行列が\(pq\)個の行列に分割できます.これを行列の区分けと言います.


\[M=\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{array}
\right)\]について,1行目と2行目,2列目と3列目の間に線を引くことで,\[M_{11}=\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 2
\end{array}
\right),M_{12}=\left(
\begin{array}{ccc}
3
\end{array}
\right),M_{21}=\left(
\begin{array}{ccc}
4 & 5 \\
7 & 8
\end{array}
\right),M_{22}=\left(\begin{array}{ccc}
6\\
9\end{array}\right)\]として\[M=\left(
\begin{array}{ccc}
M_{11} & M_{12} \\
M_{21} & M_{22}
\end{array}
\right)\]と表すことができる.行列$M$を4つに区分けしたのである.◆

もちろん区分けの方法は色々あります.
それでは,区分けされた状態で行列の演算を考えてみたいと思います.区分けされた行列も,普通の行列と同じようにスカラー倍や和,積が計算できることを見ていきます. 以下,$A$を$(m,n)$型行列として\[A=\left(
\begin{array}{cccc}
A_{11} & A_{12} &\cdots &A_{1q} \\
A_{21} & A_{22}&\cdots &A_{2q}\\
\vdots & \vdots & &\vdots \\
A_{p1} & A_{p2} & \cdots &A_{pq}
\end{array}
\right)\]と区分けします.

スカラー倍
\[\alpha A=\left(
\begin{array}{cccc}
\alpha A_{11} & \alpha A_{12} &\cdots &\alpha A_{1q} \\
\alpha A_{21} & \alpha A_{22}&\cdots &\alpha A_{2q}\\
\vdots & \vdots & &\vdots \\
\alpha A_{p1} & \alpha A_{p2} & \cdots &\alpha A_{pq}
\end{array}
\right)\]
と計算されます.これは簡単です.

先ほど用いた$M$で考える.
\[2M=\left(
\begin{array}{ccc}
2 & 4 & 6\\
8 & 10 & 12\\
14 & 16 & 18
\end{array}
\right)\]である.区分けを用いると,\[2M_{11}=\left(
\begin{array}{ccc}
2 & 4
\end{array}
\right),2M_{12}=\left(
\begin{array}{ccc}
6
\end{array}
\right),2M_{21}=\left(
\begin{array}{ccc}
8 & 10 \\
14 & 16
\end{array}
\right),2M_{22}=\left(\begin{array}{ccc}
12\\
18\end{array}\right)\]であり,確かに\[2M=\left(
\begin{array}{ccc}
2M_{11} & 2M_{12} \\
2M_{21} & 2M_{22}
\end{array}
\right)\]に等しい.


行列の和は型が同じもの同士しか定義されませんでした.区分けされた行列については,さらに,全く同じ形で区分けされているもの同士でしか和を考えません.区分けの仕方がずれていたりすると,和は非常に考えづらくなりますので.つまり,$B$も$(m,n)$型行列で
\[B=\left(
\begin{array}{cccc}
B_{11} & B_{12} &\cdots &B_{1q} \\
B_{21} & B_{22}&\cdots &B_{2q}\\
\vdots & \vdots & &\vdots \\
B_{p1} & B_{p2} & \cdots &B_{pq}
\end{array}
\right)\]
というように$A$と全く同じように区分けされている(つまり,すべての$i,j$に対して$A_{ij}=B_{ij}$である)とき,
\[A+B=\left(
\begin{array}{cccc}
A_{11} & A_{12} &\cdots &A_{1q} \\
A_{21} & A_{22}&\cdots &A_{2q}\\
\vdots & \vdots & &\vdots \\
A_{p1} & A_{p2} & \cdots &A_{pq}
\end{array}
\right)+\left(
\begin{array}{cccc}
B_{11} & B_{12} &\cdots &B_{1q} \\
B_{21} & B_{22}&\cdots &B_{2q}\\
\vdots & \vdots & &\vdots \\
B_{p1} & B_{p2} & \cdots &B_{pq}
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{cccc}
A_{11}+B_{11} & A_{12}+B_{12} &\cdots &A_{1q}+B_{1q} \\
A_{21}+B_{21} & A_{22}+B_{22}&\cdots &A_{2q}+B_{2q}\\
\vdots & \vdots & &\vdots \\
A_{p1}+B_{p1} & A_{p2}+B_{p2} & \cdots &A_{pq}+B_{pq}
\end{array}
\right)\]
と計算できます.

\[N=\left(
\begin{array}{ccc}
10 & 11 & 12\\
13 & 14 & 15\\
16 & 17 & 18
\end{array}
\right)\]について,$M$と全く同じ区分けをする.つまり:
\[N_{11}=\left(
\begin{array}{ccc}
10 & 11
\end{array}
\right),N_{12}=\left(
\begin{array}{ccc}
12
\end{array}
\right),N_{21}=\left(
\begin{array}{ccc}
13 & 14 \\
16 & 17
\end{array}
\right),N_{22}=\left(\begin{array}{ccc}
15\\
18\end{array}\right)\]として\[N=\left(
\begin{array}{ccc}
N_{11} & N_{12} \\
N_{21} & N_{22}
\end{array}
\right)\]を考える.区分けで行列の和を考えると,\[M+N=
\left(
\begin{array}{ccc}
M_{11}+N_{11} & M_{12}+N_{12} \\
M_{21}+N_{21} & M_{22}+N_{22}
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{ccc}
11 & 13 & 15\\
17 & 19 & 21\\
23 & 25 & 27
\end{array}\right)\]となる.ここで,\[M_{11}+N_{11}=\left(
\begin{array}{ccc}
11 & 13
\end{array}
\right),M_{12}+N_{12}=\left(
\begin{array}{ccc}
15
\end{array}
\right),M_{21}+N_{21}=\left(
\begin{array}{ccc}
17 & 19 \\
23 & 25
\end{array}
\right),M_{22}+N_{22}=\left(\begin{array}{ccc}
21\\
27\end{array}\right)\]に注意しよう.





$A$を前に定義したように区分けされた$(m,n)$型行列とします.$B$が$(n,l)$型行列であるときに,積$AB$は定義できます.そもそも$A$と$B$は行列の型が違う可能性があるのですから,区分けの仕方も当然変わってます.それでは,積はどのように考えればいいでしょうか.\[B=\left(
\begin{array}{cccc}
B_{11} & B_{12} &\cdots &B_{1r} \\
B_{21} & B_{22}&\cdots &B_{2r}\\
\vdots & \vdots & &\vdots \\
B_{q1} & B_{q2} & \cdots &B_{qr}
\end{array}
\right)\]
と区分けします.ポイントは,$A$の「列」の区分けの数と$B$の「行」の区分けの数がともに$q$個で等しいところです.さらに,各$i,j,l$について$A_{ij}$の列の数と$B_{jl}$の行の数が等しくなるようにします.そうすると,行列の積$A_{ij}B_{jl}$は計算できます.すると,普通の行列の積計算と同様に
\[AB=\left(
\begin{array}{cccc}
C_{11} & C_{12} &\cdots &C_{1r} \\
C_{21} & C_{22}&\cdots &C_{2r}\\
\vdots & \vdots & &\vdots \\
C_{p1} & C_{p2} & \cdots &C_{pr}
\end{array}
\right)\]ただし,\[C_{ij}=A_{i1}B_{1j}+A_{i2}B_{2j}+\cdots A_{iq}B_{qj}=\sum_{k=1}^q A_{ik}B_{kj}\]と計算できます.実際にこれは正しいですが,証明しようと思うと,区分けした行列についてさらに中身の成分を見ていかないといけないので多少面倒です.証明は省略しますが,余裕がある人は考えてみてください.

行列の区分けが威力を発揮するような積の計算を考えてみよう.例えば,
\[K=\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1 &1\\
0 & 0 & 2 & 1\\
3 & 4 & 5 & 6
\end{array}
\right),L=\left(
\begin{array}{cccc}
0 & 1 & 2 \\
0 & 3 & 4\\
5 & 6 & 7\\
5 & 6 & 7
\end{array}
\right)\]について積$KL$を考えてみよう.
まず$K$の区分けの方法を考えよう.左上に$0$がたくさん集まっているので,できるだけそこを一かたまりだと思いたい.\[K=\left(
\begin{array}{ccc}
O & K_1\\
K_2 & K_3
\end{array}
\right)\]とする.ただし\[O=\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}
\right), K_1=\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1\\
2 & 1
\end{array}\right),K_2=\left(
\begin{array}{ccc}
3 & 4
\end{array}\right),K_3=\left(\begin{array}{ccc}
5 & 6
\end{array}\right)\]と区分けする.$K$の列(横方向は)2,2と区分けされているから$L$の行(縦方向)も2,2と区分けしないといけない.従って,
\[L=\left(
\begin{array}{ccc}
O & L_1 \\
L_2 & L_3
\end{array}
\right)\]とする.ただし\[O=\left(
\begin{array}{ccc}
0 \\
0
\end{array}
\right), L_1=\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 2\\
3 & 4
\end{array}\right),L_2=\left(
\begin{array}{ccc}
5 \\
5
\end{array}\right),L_3=\left(\begin{array}{ccc}
6 & 7 \\
6 & 7
\end{array}\right)\]
これで積を計算すると,
\[KL=\left(\begin{array}{ccc}
OO+K_1L_2 & OL_1+K_1L_3 \\
K_2O+K_3L_2 & K_2L_1+K_3L_3 \end{array}\right)\]\[OO+K_1L_2=K_1L_2=\left(\begin{array}{ccc}
10 \\
15 \end{array}\right), OL_1+K_1L_3=K_1L_3=\left(\begin{array}{ccc}
12 & 14 \\
18 & 21 \end{array}\right)\]\[K_2O+K_3L_2=K_3L_2=\left(55\right),K_2L_1+K_3L_3=\left(\begin{array}{ccc} 15 & 22 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc} 66 & 77 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 81 & 99 \end{array}\right)\]より\[KL=\left(
\begin{array}{cccc}
10 & 12 & 14 \\
15 & 18 & 21\\
55 & 81 & 99
\end{array}
\right)\]となる.このように,行列が大きく,一部分に特徴的な行列があるとき,そこを塊と思って区分けすることで,計算が容易になることが多い.


結論:区分けされた行列の和と積は,うまく区分けすれば区分けされた小さい行列を成分だと思って和と積を計算できる.デカルト曰く,「困難は分割せよ」





Exercise

4.1 次の行列の積を,区分けを利用して計算せよ.
\[\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 & 2\\
0 & 0 & 1 & -1\\
1 & 2 & -1 & -1\\
\end{array}
\right)\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 \\
2 & 0 & 0 \\
3 & 0 & 0 \\
1 & 2 & -1\\
\end{array}
\right)\]
4.2 次の行列の2乗を,区分けを利用して計算せよ.
\[\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 0 & 0 & 0\\
3 & 4 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
1 & 2 & 0 & 1 & 2\\
0 & 0& 0 & 3& 4
\end{array}
\right)
\]

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