02.01.2017 分離拡大と\(|{\rm Hom}^{\rm al}_K(L,\overline{K})|\)の関係
\(L/K\)を体の\(n\)次代数拡大,\(L=K(\alpha),\;(\alpha\in L)\)とする.\(\alpha\)が\(K\)上分離的であることと,\[|{\rm Hom}^{\rm al}_K(L,\overline{K})|=n\]
であることは同値.これはなかなか本質的な主張である.そもそも\(\alpha\)の共役\(\beta\)に対して同型\(K(\alpha)\cong K(\beta)\)があった.これらが実は\({\rm Hom}^{\rm al}_K(L,\overline{K})\)の正体である.平たく言えば,共役の数だけ\({\rm Hom}^{\rm al}_K(L,\overline{K})\)の元があるのだ.\(\alpha\)が\(K\)上分離的であるとは,最小多項式が重根を持たないことを言うのだから,そうすると,最初に述べたことは当たり前である.
これは\(L=K(\alpha)\)という形をしていなくとも,\(L\)が有限次拡大なら成り立つ.




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