10.01.2017 熱方程式の平均値の原理
EvansのPDEを読んでいて(非線形数学ゼミ).\(U\)を\(\mathbb{R}^n\)の領域とし,\(u: \overline{U}\times [0,T) \ni (x,t) \mapsto u(x,t) \in \mathbb{R}\)に対して\(u_t-\Delta_x u=0\)の形の方程式を熱方程式という.\(u\)を熱方程式の解とすると,次の平均値の原理が成り立つ:
\[u(x,t)=\frac{1}{4r^n}\iint_{E(x,t;r)}u(y,s)\frac{|x-y|^2}{(t-s)^2}{\rm d}y{\rm d}s\]ここで,\[E(x,t;r)=\left\{(y,s)\in\mathbb{R}^{n+1}\:|\:s\leq t,\frac{1}{(4\pi (t-s))^{n/2}}{\rm exp}\left(-\frac{|x-y|^2}{4(t-s)}\right)\geq \frac{1}{r^n}\right\}\]である.これを証明,ゼミで発表.




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