25.01.2017 軟化子
 軟化子を生み出した人は天才だと思う.\(t>0\)のとき\(\eta(x)=e^{-1/t}\),\(t\leq0\)のとき\(\eta=0\)とする.これは\(C^{\infty}\)級関数.
\(\rho(x)=C\eta(1-|x|^2)\)とするとこれは\(C_0^{\infty}\)級関数である.ただし\(C\)は
\[\int_{\mathbb{R}^n}\rho(x){\rm d}x=1\]
となるように正規化するための定数である.\(\varepsilon>0\)に対して\(\rho_{\varepsilon}(x)=\frac{1}{\varepsilon ^n}\rho\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)\)とおく.
\(f\in L^p(\mathbb{R}^n)\)とする.このとき,\(\rho_{\varepsilon}\ast f\)は\(C^{\infty}\)級で,\(\parallel\rho_{\varepsilon}\ast f-f\parallel_{L^p}\longrightarrow 0 \; (\varepsilon\longrightarrow 0)\) である.
関数としては当然なめらかな方が扱いやすい.上記の主張は,滑らかではない関数でも軟化したもので議論をすることが可能な場合があることを
意味している.極限の順序交換が緩やかなLebesgue積分の賜物である.




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