ノイキルヒ「代数的整数論」 Chapter.1,§1 Exercise.1の解答
$\alpha\in \mathbb{Z}[i]$が単元のとき,ある$\beta\in\mathbb{Z}[i]$が存在して\[\alpha\beta=1\].
従って,\[N(\alpha)N(\beta)=1\]ノルムは非負整数であることから\[N(\alpha)=N(\beta)=1\]
逆に$N(\alpha)=1$とすると$\alpha=x+iy$と表した時に\[x^2+y^2=1\]
よって,\[(x,y)=(\pm 1,0),(0,\pm 1)\]すなわち$\alpha=\pm 1,\pm i$でありいずれも単元である.




コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です