ノイキルヒ「代数的整数論」 Chapter.1,§1 Exercise.2の解答
$\gamma=p_1^{i_1}p_2^{i_2}\cdots p_m^{i_m}$と素元分解をする.\[\alpha\beta=\varepsilon p_1^{i_1n}\cdots p_m^{i_mn}\]となる.各$k=1,2,…,m$について$\alpha\beta$は素元$p_k$の倍元なので,$\alpha$または$\beta$は$p_k$で割り切れる.$\alpha,\beta$が互いに素であることより,それは一方のみである.
$p_1,…,p_m$のうち$\alpha$を割り切るものを$p_1,…,p_l$,$\beta$を割り切るものを$p_{l+1},…,p_m$であるとして良い.このとき\[\alpha=\varepsilon_1 (p_1^{i_1}…p_l^{i_l})^n,\;\;\beta=\varepsilon_2(p_{l+1}^{i_{l+1}}…p_m^{i_m})^n\]と表せる.$\varepsilon_1,\varepsilon_2$は単元である.




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