「ordered」の指す内容がもし一般に「順序」と呼ばれるものであるなら，$\mathbb{Z}[i]$にも順序は入る．それは，$\mathbb{Z}$の順序をそのまま$\mathbb{Z}[i]$に取り込めば良い．この順序は全順序ではないし，$\mathbb{Z}[i]$の環の演算となんら関係がないから，このような順序を考える意味はあまりない．そこで，次のようなものをここでは「ordered」と考えることとする．
環$A$がordered ringであるとは，$A$が全順序$\leq$を持ち次を満たすことを言う：
(i) $\forall\; a,b,c\in A,\;\; a\leq b \Longrightarrow a+c\leq b+c$
(ii) $\forall\; a,b\in A,\;\; 0\leq a,0\leq b \Longrightarrow 0\leq ab$
以上の補足を踏まえ，$\mathbb{Z}[i]$がordered ringでないことを示す．
全順序より$0\leq i$または$i \leq 0$である．
前者の場合，この式と(ii)より$0\leq -1$となる．（これは$\mathbb{Z}$の通常の順序で考えれば矛盾している式だが，$\mathbb{Z}[i]$に$\mathbb{Z}$と全く異なる順序も入り得るので，この段階で矛盾とはまだ言えない．）
これと$0\leq i$より$0\leq -i$を得る．(i)より$i\leq 0$．従って，$0\leq i$かつ$i \leq 0$となるが，$0=i$を意味して矛盾する．
後者の場合，$0\leq -i$である．同様に(ii)より$0\leq -1$である．$0\leq -i$及び$0\leq -1$より$0\leq i$となる．$i\leq 0$と合わせて$0=i$となり矛盾する．