ノイキルヒ「代数的整数論」 Chapter.1,§1 Exercise.4の解答

Remark.

「ordered」の指す内容がもし一般に「順序」と呼ばれるものであるなら,$\mathbb{Z}[i]$にも順序は入る.それは,$\mathbb{Z}$の順序をそのまま$\mathbb{Z}[i]$に取り込めば良い.この順序は全順序ではないし,$\mathbb{Z}[i]$の環の演算となんら関係がないから,このような順序を考える意味はあまりない.そこで,次のようなものをここでは「ordered」と考えることとする.

Def
環$A$がordered ringであるとは,$A$が全順序$\leq$を持ち次を満たすことを言う:
(i) $\forall\; a,b,c\in A,\;\; a\leq b \Longrightarrow a+c\leq b+c$
(ii) $\forall\; a,b\in A,\;\; 0\leq a,0\leq b \Longrightarrow 0\leq ab$

以上の補足を踏まえ,$\mathbb{Z}[i]$がordered ringでないことを示す.

全順序より$0\leq i$または$i \leq 0$である.
前者の場合,この式と(ii)より$0\leq -1$となる.(これは$\mathbb{Z}$の通常の順序で考えれば矛盾している式だが,$\mathbb{Z}[i]$に$\mathbb{Z}$と全く異なる順序も入り得るので,この段階で矛盾とはまだ言えない.)
これと$0\leq i$より$0\leq -i$を得る.(i)より$i\leq 0$.従って,$0\leq i$かつ$i \leq 0$となるが,$0=i$を意味して矛盾する.
後者の場合,$0\leq -i$である.同様に(ii)より$0\leq -1$である.$0\leq -i$及び$0\leq -1$より$0\leq i$となる.$i\leq 0$と合わせて$0=i$となり矛盾する.




コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です