ノイキルヒ「代数的整数論」 Chapter.1,§1 Exercise.5の解答

$p+q\sqrt{-d}\in\mathbb{Z}[\sqrt{-d}]$が単元であるとすると,\[(p+q\sqrt{-d})(r+s\sqrt{-d})=1\;\;(\exists\; r,s\in\mathbb{Z})\]従って,\[pr-dqs=1,ps+qr=0\]行列表示すると\[\left( \begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} r& -ds\\ s& r\end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} p\\ q\end{matrix} \right)\]つまり\[\left( \begin{matrix} p\\ q\end{matrix} \right) =\dfrac {1} {r^{2}+ds^{2}}\left( \begin{matrix} r& ds\\ -s& r\end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix} \right)\]

$|r|>1$または$|s|>1$が成り立つときは,分母の$r^2+ds^2$は分子の$|r|$や$|s|$より大きくなり$p,q$は整数とはなりえない.従って,$|r|,|s|\leq 1$である.このうち,$p,q$も整数になるものを探すと,$p+q\sqrt{-d}=\pm 1$に限ることがわかる.




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