松本「多様体の基礎」の自主ゼミの記録です.僕がすべての講義を担当しています.

【使用テキスト】松本「多様体の基礎」
【開講時限】(2017年後期)水3・(2018年前期)水4

【今後の予定】
予定は先に行けば行くほど変わる可能性があります.

日付 主な内容 テキスト箇所
第1回 10/11 多様体の定義,例 §6
休講 10/18
第2回 10/25 多様体の例,$C^{\infty}$函数 §6,7
第3回 11/1 射影空間 §11
第4回 11/8 $C^{\infty}$写像 §7
第5回 11/15 接ベクトル空間 §8
第6回 11/22 接ベクトル空間・写像の微分 §8,9
第7回 11/29 写像の微分 §9
第8回 12/6 微分の例,写像の局所的性質 §9,10
休講 12/13
第9回 12/20 はめこみと埋め込み §12
第10回 12/26 部分多様体,パラコンパクト §12,13
第11回 01/10 1の分割,正則点 §14,15
以降,春休み
第12回 02/20 正則点と部分多様体 §15
第13回 02/27 ベクトル場,括弧積 §16
第14回 03/26 括弧積,ベクトル場のpush-forward §16
以降,前期授業期間
第15回 04/25 積分曲線と完備性,1パラメータ変換群の定義 §17
第16回 05/02 積分曲線と1パラメータ変換群,テンソル代数・外積代数 §17-19
第17回 05/09 微分形式と外微分 §19
第18回 05/16 積分,多様体の向き §19,20
第19回 05/23 Stokesの定理 §20

第1回 10/11の内容

  • 位相多様体の定義
  • 座標変換と$C^{\infty}$多様体の定義
  • $\mathbb{R}^{n}$には直交座標と極座標という二つのchartがある.座標変換についても確認した.
  • $S^{n}$の上半球・下半球を用いるatlasの入れ方を確認した.
  • 積多様体,開部分多様体の定義
Exercise.1(Moebiusの輪) $\mathbb{R}^2$の部分集合$I=[0,1]\times [-1,1]$上の関係$\sim$を\[(0,y)\sim (1,-y)\;\;(\forall\; y\in [-1,1])\]で定義する.自然な写像\[f:I\longrightarrow I/\sim\]によって$M=I/\sim$に商位相を入れることで,$M$を位相空間とみなす.$M$の座標近傍系を記述することで,$M$に$C^{\infty}$多様体としての構造を導入せよ.

第2回 10/25の内容

  • 立体射影による$C^{\infty}$多様体$S^{n}$の定義
  • $C^{s}$級函数の定義
  • $C^{\infty}$級函数の微分とLeibniz’s rule
Exercise.2 $h_k:S^m\longrightarrow \mathbb{R}$を第$k$成分の射影として定義する.すなわち,$x=(x_1,…,x_m)\in S^m$に対して,$h_k(x)=x_k$とする.$h_k $が$C^{\infty}$級函数であることを,$S^m$には立体射影によってアトラスを入れた場合について示せ.

第3回 11/1の内容

  • 位相空間$\mathbb{RP}^n$を定義した.これはハウスドルフで,$C^{\infty}$級多様体であることが確認出来る.

第4回 11/8の内容

  • $C^{s}$級写像の定義
  • $C^{s}$級曲線などの$C^{s}$級写像の例を扱った.
  • $C^{s}$級微分同相写像の定義

第5回 11/15の内容

以降の講義については全て多様体は$C^{\infty}$級であるとする.

  • 自然な写像$\pi:S^n\longrightarrow \mathbb{RP}^n$が$C^{\infty}$写像であることを確認した.
  • 接空間$T_pM$を2通りの方法で定義した.
  • 曲線の速度ベクトルは方向微分になっていて,逆に方向微分はある曲線の速とベクトルとして表される.
  • $M$が$m$次元($C^{\infty}$)多様体のとき,$T_pM$は\[\left(\frac{\partial}{\partial x_i}\right)_p\]たちを基底とする$m$次元ベクトル空間である.
  • $T_pM$に対して2つの異なる基底を取ったときに,それらの間の相互法則
    \[\left(\frac{\partial}{\partial x_i}\right)_p=\sum_{j=1}^{m}\frac{\partial y_j}{\partial x_i}(p)\left(\frac{\partial}{\partial y_j}\right)_p\]を確認した.
Exercise.3 $p\in M$を通る2つの$C^{\infty}$曲線$c_0,c_1$を考え,$c_0(0)=c_1(0)=p$であるとする.$p$を含むチャートを一つ$(U,\varphi)$とする.関係$c_0\sim c_1$を,\[\frac{d(\varphi\circ c_0)}{dt}(0)=\frac{d(\varphi\circ c_1)}{dt}(0)\]として定義する.このとき$\sim$が同値関係であることを示せ.