【講義記録】多様体の基礎

　松本「多様体の基礎」の自主ゼミの記録です．僕がすべての講義を担当しています．

【使用テキスト】松本「多様体の基礎」
【開講時限】（2017年後期）水３・（2018年前期）水４

【今後の予定】
予定は先に行けば行くほど変わる可能性があります．

日付 主な内容 テキスト箇所
第１回 10/11 多様体の定義，例 §6
休講 10/18
第２回 10/25 多様体の例，$C^{\infty}$函数 §6,7
第３回 11/1 射影空間 §11
第４回 11/8 $C^{\infty}$写像 §7
第５回 11/15 接ベクトル空間 §8
第６回 11/22 接ベクトル空間・写像の微分 §8,9
第７回 11/29 写像の微分 §9
第８回 12/6 微分の例，写像の局所的性質 §9,10
休講 12/13
第９回 12/20 はめこみと埋め込み §12
第10回 12/26 部分多様体，パラコンパクト §12,13
第11回 01/10 1の分割，正則点 §14,15
以降，春休み
第12回 02/20 正則点と部分多様体 §15
第13回 02/27 ベクトル場，括弧積 §16
第14回 03/26 括弧積，ベクトル場のpush-forward §16
以降，前期授業期間
第15回 04/25 積分曲線と完備性，1パラメータ変換群の定義 §17
第16回 05/02 積分曲線と1パラメータ変換群，テンソル代数・外積代数 §17-19
第17回 05/09 微分形式と外微分 §19
第18回 05/16 積分，多様体の向き §19,20
第19回 05/23 Stokesの定理 §20

第１回　10/11の内容

  • 位相多様体の定義
  • 座標変換と$C^{\infty}$多様体の定義
  • $\mathbb{R}^{n}$には直交座標と極座標という二つのchartがある．座標変換についても確認した．
  • $S^{n}$の上半球・下半球を用いるatlasの入れ方を確認した．
  • 積多様体，開部分多様体の定義
Exercise.1（Moebiusの輪）　$\mathbb{R}^2$の部分集合$I=[0,1]\times [-1,1]$上の関係$\sim$を\[(0,y)\sim (1,-y)\;\;(\forall\; y\in [-1,1])\]で定義する．自然な写像\[f:I\longrightarrow I/\sim\]によって$M=I/\sim$に商位相を入れることで，$M$を位相空間とみなす．$M$の座標近傍系を記述することで，$M$に$C^{\infty}$多様体としての構造を導入せよ．

第２回　10/25の内容

  • 立体射影による$C^{\infty}$多様体$S^{n}$の定義
  • $C^{s}$級函数の定義
  • $C^{\infty}$級函数の微分とLeibniz’s rule
Exercise.2　$h_k:S^m\longrightarrow \mathbb{R}$を第$k$成分の射影として定義する．すなわち，$x=(x_1,…,x_m)\in S^m$に対して，$h_k(x)=x_k$とする．$h_k $が$C^{\infty}$級函数であることを，$S^m$には立体射影によってアトラスを入れた場合について示せ．

第３回　11/1の内容

  • 位相空間$\mathbb{RP}^n$を定義した．これはハウスドルフで，$C^{\infty}$級多様体であることが確認出来る．

第４回　11/8の内容

  • $C^{s}$級写像の定義
  • $C^{s}$級曲線などの$C^{s}$級写像の例を扱った．
  • $C^{s}$級微分同相写像の定義

第５回　11/15の内容

以降の講義については全て多様体は$C^{\infty}$級であるとする．

  • 自然な写像$\pi:S^n\longrightarrow \mathbb{RP}^n$が$C^{\infty}$写像であることを確認した．
  • 接空間$T_pM$を２通りの方法で定義した．
  • 曲線の速度ベクトルは方向微分になっていて，逆に方向微分はある曲線の速とベクトルとして表される．
  • $M$が$m$次元($C^{\infty}$)多様体のとき，$T_pM$は\[\left(\frac{\partial}{\partial x_i}\right)_p\]たちを基底とする$m$次元ベクトル空間である．
  • $T_pM$に対して2つの異なる基底を取ったときに，それらの間の相互法則
    \[\left(\frac{\partial}{\partial x_i}\right)_p=\sum_{j=1}^{m}\frac{\partial y_j}{\partial x_i}(p)\left(\frac{\partial}{\partial y_j}\right)_p\]を確認した．
Exercise.3　$p\in M$を通る2つの$C^{\infty}$曲線$c_0,c_1$を考え，$c_0(0)=c_1(0)=p$であるとする．$p$を含むチャートを一つ$(U,\varphi)$とする．関係$c_0\sim c_1$を，\[\frac{d(\varphi\circ c_0)}{dt}(0)=\frac{d(\varphi\circ c_1)}{dt}(0)\]として定義する．このとき$\sim$が同値関係であることを示せ．