修士論文：Coleman 積分論とその $p$ 進多重ゼータ値への応用について

古賀の修士論文を，公開用に一部編集し直したものです．

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PDF（2022/3/31公開）

本書を読むにあたって

　本書を読むにあたって必要な事項は第2章にまとめているが，それ以前の前提として代数幾何やリジッド幾何の用語や概念に馴染みがあることが必要であろう．また， Coleman積分 と $p$MZV については，[原19] で基礎的なことを学ぶことができる．これは大変読みやすくそして詳しい解説記事であり，それを読んでからそれに続く内容として本書を読むのがもっとも良いであろう．

概要

　本書は， $p$ 進積分論の1つである Coleman 積分論と，$p$ 進多重ゼータ値の定義と性質（特に複シャッフル関係式）についてである．

　第2章では，いくつかの準備をおこなう．必要となる unipotent isocrystal や淡中圏に関する事実を復習する．

　第3章では，Coleman 積分論を扱う．3.1節で Coleman 積分論の発端となった Coleman [Col82] による定式化を紹介したあと，3.2節では Besser [Bes02] による淡中圏を用いた解釈を紹介する．Coleman による定式化では$\mathbb{P}^1$上の積分に限られていたものが，Besser による方法では高次元に拡張されている．さらに3.3節では， Besser-Furusho [BF06] による Coleman 関数の接基点への解析接続について紹介する．同じ論文で導入された代数的起源の Coleman 関数の積分理論について詳細を述べた．

　第4章では，$p$ 進多重ゼータ値（以下 $p$MZV）$\zeta_p(\mathbf{a})$ を扱う．まず4.1節では，複素多重ゼータ値（以下MZV）$\zeta(\mathbf{a})$ のいくつかの性質を簡単に紹介する．4.2節では，MZVの $p$ 進類似である $p$MZV を定義する．MZV がポリログ ${\rm Li}_{\mathbf{a}}(z)$ の $z\rightarrow 1$ の極限として与えることができる点に着目し，$p$MZV を$p$ 進ポリログ ${\rm Li}^{\varpi}_{\mathbf{a}}(z)$ のある種の極限として定義する．この $p$ 進ポリログは，Coleman積分論を用いて $\mathbb{P}^1\setminus \{0,1,\infty\}$上 のColeman 関数として定義されている．また， $p$MZV は，KZ方程式（定義）の2つの基本解の差である $p$進 Drinfel’d associator $\Phi_{\rm KZ}^\varpi$ を母関数にもつ．KZ方程式の基本解や $\Phi_{\rm KZ}^\varpi$ の直接的な表示を紹介し，$p$MZV の関係式の1つであるシャッフル積公式 [Fur04] \[\zeta_p(\mathbf{a})\zeta_p(\mathbf{b})=\zeta_p(\mathbf{a} \text{ш} \mathbf{b})\]の証明を紹介する（但し $\mathbf{a},\mathbf{b}$ は admissible な指数）．4.3節では続いて，$p$MZVの調和積公式 [BF06] \[\zeta_p(\mathbf{a})\zeta_p(\mathbf{b})=\zeta_p(\mathbf{a} * \mathbf{b})\] の証明を紹介する．そのために，Coleman関数として $\mathcal{M}_{0,5}$ 上で定義された二重ポリログ ${\rm Li}_{\mathbf{a}}(x,y)$ の関係式を考える．調和積公式は，その二重ポリログの関係式を $\mathcal{M}_{0,5}$ の接空間に解析接続することで示される．シャッフル積公式と調和積公式から，直ちに複シャッフル関係式 \[\zeta_p(\mathbf{a} \text{ш} \mathbf{b}) = \zeta_p(\mathbf{a} * \mathbf{b})\] を得る．

参考文献